Розділ 10. Властивості функції.

Функцією , яка діє з множини у множину називається залежність між елементами множин і , при якій кожному елементу множини ставиться у відповідність не більш, ніж один елемент множини . Цю залежність записують ; — аргумент, — функція. Множина називається областю визначення функції , а множина — областю її значень.

Функція у точці досягає свого максимуму (мінімуму), якщо в її області визначення можна вказати такий інтервал, для якого є внутрішньою точкою і для всіх з цього інтервалу .

Функція називається обмеженою на області визначення, якщо існує число таке, що для будь-якого значення з області визначення функції . У протилежному випадку називається необмеженою.

Функція називається періодичною, якщо існує число таке, що при всіх значеннях з області визначення функції число також належить до області визначення , і . Число називається періодом функції , а найменше додатне число , яке має цю властивість, називається основним періодом функції .

Сума і добуток двох функцій з одним і тим самим періодом є функціями з періодом .

Якщо — періодична функція з періодом , то функція — також періодична з періодом . Період алгебраїчної суми періодичних функцій дорівнює найменшому спільному кратному періодів усіх доданків.

Нехай — функція. Оберненою функцією до називається функція , визначена на множині значень функції , така, що для будь-якого з області визначення функції . Для того, щоб деяка функція мала обернену, необхідно і достатньо, щоб різним значенням аргументу з області її визначення відповідали різні значення функції.

Функція називається парною, якщо для кожного значення з області її визначення число також належить до області її визначенн і . Функція — непарна, якщо для кожного з області визначення.

Приклад 1. Функція визначена на множині і , , , . Чому дорівнює добуток найбільшого і найменшого значень функції, оберненої до даної ?

Розв’язання. Областю визначення оберненої функції до є область значень функції :

і , , , . Отже, найбільшим і найменшим значеннями функції є числа і відповідно. Звідси .

Відповідь: -35.

Приклад 2. Функція — непарна, а — парна і , . Обчислити .

Розв’язання.

Відповідь: 5.

Приклад 3. Знайти область визначення функції .

Розв’язання. Функція має зміст тоді і лише тоді, коли виконується умова

.

Знайдемо корені рівняння :

Отже, при . Умова виконується при . Маємо , тому — єдина точка, яка входить в область визначення функції.

Відповідь: 4.

Приклад 4. Визначити найменший додатний період функції

Розв’язання. Запишемо

Оскільки функція — -періодична, то період функції

дорівнює

Відповідь: 1,25.

Приклад 5. Обчислити з точністю до найменший додатний період функції

Розв’язання. Знайдемо найменші додатні періоди функцій , і .

1) Функція — -періодична, тому найменший додатний період функції дорівнює

2) Найменший додатний період функції дорівнює

3) Функція — також -періодична, тому найменший додатний період функції дорівнює

Найменший додатний період функції — це найменше спільне кратне чисел і , тобто

Відповідь: 0,7.

Приклад 6. Скільки різних цілих значень набуває функція ?

Розв’язання.

Очевидно, що приймає найбільше значення при , і це значення дорівнює . Функція для всіх і дорівнює нулю при Отже, для всіх дійсних значень . Оскільки — неперервна функція, то вона приймає всі значення з проміжку . Серед них — два цілі значення: і .

Відповідь: 2.