Розділ 9. Тригонометричні рівняння.

Тригонометричне рівняння — це рівняння, в якому невідома змінна входить лише під знак тригонометричних функцій безпосередньо або у вигляді лінійної функції від невідомої змінної, при цьому над тригонометричними функціями виконуються лише алгебраїчні дії.

Найпростішим тригонометричним рівнянням називається рівняння вигляду

де — довільне дійсне число. Розглянемо розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь.

1) Якщо то

якщо то рівняння не має розв’язків.

2) Якщо то

якщо то рівняння не має розв’язків.

3) Для будь-якого дійсного

4) Для будь-якого дійсного

Розглянемо часткові випадки при Отримаємо наступні формули для знаходження розв’язків.

Приклад 1. Знайти (у градусах) найбільший розв’язок рівняння у проміжку

Розв’язання. Маємо отже

Найбільший розв’язок рівняння у проміжку — тобто

Відповідь: 45.

Приклад 2. Визначити кількість цілих значень параметра , при яких рівняння має розв’язки.

Розв’язання. Для того, щоб рівняння мало розв’язки, потрібно, щоб виконувалася умова , тобто Звідси Отже, рівняння матиме розв’язки при трьох цілих значеннях .

Відповідь: 3.

Приклад 3. Визначити кількість розв’язків рівняння у проміжку

Розв’язання. Добуток двох виразів дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли один із співмножників (або обидва) дорівнює нулю. Отже,

1)

2)

Відповідь: 3.

Приклад 4. Знайти (у градусах) найменший додатний розв’язок рівняння

Розв’язання. Перетворимо ліву частину рівняння:

Поділимо обидві частини рівняння на Отримаємо звідси

Найменшим додатним розв’язком рівняння є тобто

Відповідь: 67,5.

Приклад 5. Знайти (у градусах) найменший додатний розв’язок рівняння

Розв’язання. Запишемо

Звідси маємо

Отже,

1) звідси

2) звідси

Найменшим додатним розв’язком рівняння є , тобто

Відповідь: 22,5.