Інформація про дисертацію

Дисертаційна робота присвячена чисельному розв’язуванню задачі реконструкції даних Коші гармонійної функції в тривимірній двозв’язній області. В роботі показано, що вихідна задача належать до класу некоректних задач, в сенсі відсутності стійкості за вхідними даними. Тому, для того щоб отримати стійкий чисельний розв’язок, розглядається клас регуляризуючих методів. Зроблено короткий огляд існуючих регуляризуючих чисельних методів для розв’язування некоректних задач, зокрема, двовимірної чи тривимірної задачі Коші для рівняння Лапласа з коротким аналізом переваг або недоліків. Також наведено короткий опис функціональних просторів, потрібних для теоретичних досліджень.

Для чисельного розв’язування вихідної задачі розглянуто прямий регуляризуючий метод Тіхонова і два ітераційні методи: альтернуючий метод і узагальнений метод Ландвебера.

У випадку методу Тіхонова, задача Коші редукована до некоректної системи двовимірних інтегральних рівнянь за допомою теорії потенціалу і за допомогою формули Гріна. В обох варіантах наведено інтегральне подання розв’язку, відповідну некоректну систему інтегральних рівнянь, а також вигляд шуканих даних Коші на внутрішній границі. Для двох систем інтегральних рівнянь досліджено можливість застосування регуляризуючого методу Тіхонова. Здійснено параметризацію одержаних систем інтегральних рівнянь і виділено слабкі особливості в ядрах. За допомогою дискретного проекційного методу Гальоркіна повністю дискретизовано одержані параметризовані системи інтегральних рівнянь, причому невідомі густини апроксимовано лінійною комбінацією сферичних гармонік, а інтеграли наближено обчислено за допомогою відповідних кубатурних формул, які володіють супералгебраїчним порядком збіжності для аналітичних підінтегральних функцій. В результаті розв’язування вихідних систем інтегральних рівнянь зведено до пошуку невідомих коефіцієнтів в апроксимаціях невідомих густин, причому шукані коефіцієнти є розв’язком систем лінійних алгебраїчних рівнянь, одержаних після застосування методу Гальоркіна. Показано, як оптимізувати процес формування коефіцієнтів систем лінійних рівнянь для зменшення кількості обчислень і як використати отримані результати при формуванні дискретної апроксимації даних Коші.

До одержаних систем лінійних рівнянь застосовано метод регуляризації Тіхонова, причому параметр регуляризації вибрано за допомогою методу L-кривих. Наведено формули для знаходження наближеного розв’язку в області і для знаходження наближених значень даних Коші на внутрішній границі області для обох підходів методу інтегральних рівнянь, здійснено короткий порівняльний аналіз обох підходів.

Також в роботі використано ітераційні регуляризуючі методи для чисельного розв’язування некоректної тривимірної задачі Коші для рівняння Лапласа. Спочатку наведено алгоритм альтернуючого методу. Даний ітераційний метод був запропонований В. Козловим і В. Мазья для некоректних задач з самоспряженим оператором і був використаний в деяких роботах для чисельного розв’язування двовимірної задачі Коші. В даній роботі ідея методу поширена на випадок тривимірних областей. Наведено алгоритм ітераційного методу, який складається з послідовного розв’язування двох коректних мішаних задач Неймана-Діріхле і Діріхле-Неймана для рівняння Лапласа. Досліджено збіжність і стійкість даного методу.

Класичним ітераційним регуляризуючим методом є метод Ландвебера і як відомо для даного методу необхідним є вигляд спряженого оператора. В роботі побудовано дві модифікації узагальненого методу Ландвебера, для яких не потрібен спряжений оператор. Наведено алгоритми даних ітераційних процедур, на кожному кроці яких потрібно розв’язати задачу Діріхле і Робіна або мішані задачі Діріхле-Неймана і Неймана-Діріхле для рівняння Лапласа з відповідними вхідними даними. Досліджено збіжність і стійкість отриманих ітераційних методів.

Оскільки, на кожному кроці усіх ітераційних процесів потрібно розв’язувати одну з коректних тривимірних задач Неймана-Діріхле, Діріхле-Неймана, Діріхле або Робіна для рівняння Лапласа, то в роботі також розглянуто алгоритми для їх чисельного розв’язування за допомогою непрямого методу інтегральних рівнянь. Усі коректні задачі зведені до системи двовимірних інтегральних рівнянь, дослідженно коректність отриманих систем у відповідних просторах, виділено слабкі особливості в ядрах. Розглянуто дискретний проекційний метод Гальоркіна для дискретизації одержаних систем інтегральних рівнянь, досліджено збіжність даного методу та встановлено оцінки похибок методу. Враховано специфіку тривимірних областей, а також, наведено оптимізацію обчислень.

Для усіх регуляризуючих методів для розв’язування задачі Коші для рівняння Лапласа наведено декілька чисельних експериментів для різних конфігурацій областей і різних вхідних даних, а також для даних із шумом, які підтверджують стійкість і збіжність розглянутих методів: побудовані таблиці зміни значень похибок шуканих даних Коші і наведені відповідні графіки.  Для розглянутих коректних граничних задач показано декілька чисельних експериментів, які показують високу ефективність методу інтегральних рівнянь у випадку коректних задач.

Ключові слова: задача Коші, рівняння Лапласа, тривимірна область, метод Тіхонова, альтернуючий метод, узагальнений метод Ландвебера, метод L-кривих, метод інтегральних рівнянь, метод Вінерта.