Інформація про дисертацію

Цю роботу присвячено дослідженню існуючих та розробці нових hp-адаптивних схем методу скінченних елементів (МСЕ) для сингулярно збурених крайових задач дифузії-конвекції-реакції. Ключовою особливістю адаптивних схем цього типу є використання поліноміальних апроксимацій довільних порядків на скінченних елементах поряд із згущенням вузлів сітки. Порівняно із класичними h-адаптивними схемами, такий підхід дає змогу будувати скінченновимірні простори МСЕ з кращими апроксимаційними властивостями.

У праці розроблено нову схему адаптування, в основі якої лежить порівняння норм різних наближень до похибки на кожному скінченному елементі. Базуючись на такому порівнянні, виділено критерій, який дає змогу здійснити перебудову сітки скінченних елементів для наступної ітерації алгоритму. Підхід обґрунтовано для одновимірних симетричних задач. Результати числових експериментів засвідчили, що побудована стратегія також може бути застосована до несиметричних задач.

У вступній частині роботи проаналізовано актуальність теми дослідження, сформульовано мету та подано перелік основних поставлених завдань, висвітлено наукову новизну та практичне значення результатів роботи.

У першому розділі розглянуто фундаментальні фізичні співвідношення, що описують процеси дифузії, конвекції та реакції у суцільному середовищі. На їх основі сформульовано модель дифузії-конвекції-реакції, у вигляді крайової задачі. Проаналізовано арсенал наявних числових та аналітичних методів розв’язування одержаної крайової задачі. Побудовано відповідну варіаційну задачу та доведено теорему про її коректність. Виокремлено клас сингулярно збурених задач, у яких конвективна та реактивна складові значно переважають над дифузійною складовою процесу перенесення домішки. Подано класифікацію алгоритмів адаптування. Розглянуто 4 типи схем:  h-, r-, p-, hp-адаптивні. Детально проведено огляд та порівняння відомих hp-адаптивних алгоритмів.

Другий розділ присвячено побудові апостеріорних оцінювачів похибок для апроксимацій довільних порядків. Сконструйовано спеціальний явний оцінювач, що безпосередньо враховує порядок апроксимації на скінченному елементі. Доведено його ефективність та надійність. Побудовано варіаційну задачу про похибку. Базуючись на ній, отримано неявний оцінювач на основі фундаментальних розв’язків. Додатково, сконструйовано ще два неявні оцінювачі Діріхле, що дають змогу оцінити похибку при поділі скінченного елемента навпіл, або при збільшенні його порядку. Досліджено питання ефективного обчислення оцінювача на основі контрольного розв’язку та доведено теорему про його поелементну декомпозицію.

У третьому розділі розроблено нову стратегію hp-адаптування на основі порівнянь норм різних наближень до похибки. Побудовану схему теоретично обґрунтовано для симетричних задач. Розглянуто універсальний алгоритм на основі контрольного розв’язку та аспекти його ефективної реалізації. Для обчислення компонент глобальної системи лінійних рівнянь методу скінченних елементів використано квадратурні формули Гаусса високих порядків. Для побудови останніх запропоновано комбінування алгоритму Голуба-Уелша та QL-алгоритму з вибором зсувів за Уілкінсоном. Для розв’язування системи рівнянь, в обох алгоритмах hp-адаптування запропоновано та обґрунтовано використання методу статичної конденсації внутрішніх параметрів.

У четвертому розділі міститься опис розроблених програмних засобів, що реалізують побудовані алгоритми, а також подано результати обчислювальних експериментів та їх аналіз для сингулярно збурених крайових задач дифузії-конвекції-реакції. Здійснено порівняльний аналіз розробленого алгоритму адаптування та алгоритму на основі контрольного розв’язку, а також розробленого алгоритму із типовою h-адаптивною схемою. Наведено порівняння різних оцінювачів та критеріїв адаптування. Результати числових експериментів підтверджують ефективність побудованих схем.

Серед одержаних в дисертації результатів і методів варто відзначити такі:

1. програмна імплементація та теоретичний аналіз адаптивного алгоритму на основі контрольного розв’язку;
2. доведення можливості поелментної декомпозиції оцінювача на основі контрольного розв’язку;
3. побудова явного та неявних апостеріорних оцінювачів похибок для апроксимацій довільних порядків;
4. побудова стратегії hp-адаптування на основі порівняння норм різних наближень до похибки;
5. проведення та аналіз обчислювальних експериментів із застосування побудованих алгоритмів МСЕ до сингулярно збурених задач.

Ключові слова: метод скінченних елементів, метод Гальоркіна, ортогональна проекція, базис Лобатто, функція Гріна, hp-адаптивність, апостеріорний оцінювач похибки, коректно поставлена задача, крайова задача дифузії-конвекції-реакції, контрольний розв’язок, квадратурна формула Гаусса, поліноми Лежандра, критерії Пекле та Струхаля.